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Enigma

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I rotori: cablaggio, posizione e anello

Il cablaggio dentro il rotore “traduce” la lettera in un’altra.

Paul Reuvers, Marc Simons, Crypto Museum — How does an Enigma machine work? (traduzione nostra)

Nella lezione Dalla sostituzione al rotore il disco cifrante con il cablaggio del rotore I, fatto avanzare di un passo a ogni lettera, trasformava AAAAAA in EKMFLG. Il rotore di Enigma ha lo stesso cablaggio, ma fatto di fili e contatti. È un disco di materiale isolante con 26 contatti elettrici su ciascuna faccia: a destra contatti a molla, a sinistra contatti piatti. All’interno, 26 fili collegano ogni contatto di destra a un contatto di sinistra secondo un ordine rimescolato. Ogni rotore è identificato da un numero romano e ha un cablaggio suo; quello del rotore I, letto dalla A alla Z, è

EKMFLGDQVZNTOWYHXUSPAIBRCJ

cioè la corrente che entra dal contatto A esce dal contatto E, quella che entra dal B esce dal K, e così via. Fermo in una posizione, un rotore è una sostituzione monoalfabetica, come il disco cifrante quando non ruota.

Prerequisiti

  • Dalla lezione Dalla sostituzione al rotore: un disco con il cablaggio del rotore I che avanza a ogni lettera trasforma AAAAAA in EKMFLG.
  • Dalla lezione Tastiera, lampade e circuito: dal tasto la corrente arriva ai rotori attraverso la ruota d’ingresso, e il rotore di destra scatta prima che passi la corrente.

Obiettivi

  • Seguire la corrente attraverso un rotore e trovare la lettera in uscita in una posizione qualunque.
  • Spiegare perché il rotore in posizione B non accende la lettera che il disco cifrante dava dopo un passo.
  • Prevedere che cosa succede alla cifratura quando si girano insieme l’anello e la posizione.

La posizione

Il rotore può girare, e la sua posizione si legge in una finestrella sul coperchio della macchina. La carcassa della macchina, invece, resta ferma, e con lei i punti da cui la corrente entra nel rotore e quelli da cui ne esce: per il rotore di destra, la corrente arriva sempre dallo stesso contatto della ruota d’ingresso. Quando il rotore gira, i suoi fili si spostano rispetto alla carcassa, e la corrente che arriva dallo stesso punto incontra un filo diverso.

Previsione

In posizione A, il rotore I manda la A in E. Il disco cifrante, dopo un passo, mandava la A in K, la lettera che segue la E nel cablaggio. Nel rotore qui sotto, portato in posizione B, in che lettera esce la A?

Rotore I: la corrente entra dal contatto A a destra ed esce dal contatto E a sinistra.uscitaingressoAABBCCDDEEFFGGHHIIJJKKLLMMNNOOPPQQRRSSTTUUVVWWXXYYZZ
  1. Il contatto A della carcassa (numero 0, contando da A = 0) tocca il contatto A del cablaggio: (0 + 0 − 0) mod 26 = 0.
  2. Dentro il rotore I il filo porta da A a E.
  3. Il contatto E del cablaggio, tolto lo stesso spostamento, corrisponde al contatto E della carcassa.

A → E

La A esce in J. La corrente entra dal contatto A della carcassa, che con il rotore in posizione B tocca il contatto B del cablaggio: lo spostamento si somma all’ingresso. Il filo porta da B a K. Anche il contatto K del cablaggio si è spostato di un passo, e si trova davanti al contatto J della carcassa: lo spostamento si toglie all’uscita. Il disco cifrante faceva solo la prima metà del conto, perché la lettera cifrata si leggeva sul disco.

Nel riquadro il conto è scritto con i numeri. Numeriamo le lettere da 0 (A) a 25 (Z): all’ingresso sommiamo la posizione, seguiamo il filo, all’uscita togliamo la stessa posizione. L’operazione «modulo 26» riporta il conteggio a zero dopo la Z, come le ore dell’orologio dopo le 12. Ogni posizione dà così una sostituzione diversa, e le 26 posizioni del rotore ne danno 26.

L’anello

Intorno al rotore c’è un anello con l’alfabeto (sull’Enigma I i numeri da 01 a 26): sono le lettere che si vedono nella finestrella. L’anello si può ruotare rispetto al cablaggio e bloccare in una qualunque delle 26 posizioni; questa regolazione si chiama Ringstellung, «posizione dell’anello». Girando l’anello, cambia la lettera che compare nella finestrella per una stessa posizione del cablaggio.

Previsione

Nel rotore qui sotto la posizione e l’anello sono entrambi su B, e in ingresso c’è la A. In che lettera esce?

Rotore I: la corrente entra dal contatto A a destra ed esce dal contatto E a sinistra.uscitaingressoAABBCCDDEEFFGGHHIIJJKKLLMMNNOOPPQQRRSSTTUUVVWWXXYYZZ
  1. Il contatto A della carcassa (numero 0, contando da A = 0) tocca il contatto A del cablaggio: (0 + 1 − 1) mod 26 = 0.
  2. Dentro il rotore I il filo porta da A a E.
  3. Il contatto E del cablaggio, tolto lo stesso spostamento, corrisponde al contatto E della carcassa.

A → E

La A esce in E, come con posizione e anello entrambi su A: i due spostamenti si compensano. La cifratura dipende soltanto dalla differenza fra posizione e anello, cioè da quanto è girato il cablaggio rispetto alla carcassa. Alan Turing, nel trattato su Enigma scritto a Bletchley Park, la chiamava posizione «assoluta» del rotore, per distinguerla dalla lettera nella finestrella.

Il rotore in una formula· approfondimento

Con le lettere numerate da 0 (A) a 25 (Z), chiamiamo RR il cablaggio, pp la posizione, rr l’anello e k=p−rk = p - r la loro differenza. Il rotore manda la lettera xx nella lettera

y≡R((x+k) mod 26)−k(mod26)y \equiv R\big((x + k) \bmod 26\big) - k \pmod{26}

cioè sposta l’ingresso di kk, segue il filo e toglie kk all’uscita. Con posizione B e anello A, k=1k = 1: la A, cioè 0, entra nel contatto 0+1=10 + 1 = 1, la B del cablaggio, il filo la porta in 10, la K, ed esce in 10−1=910 - 1 = 9, la J. La lezione La matematica di Enigma riscrive questa costruzione con le permutazioni, le dà il suo nome e mostra come Marian Rejewski la usò per ricostruire il cablaggio dei rotori militari.

  • La corrente entra nel rotore da un punto fisso della carcassa, segue un filo del cablaggio ed esce in un altro punto fisso. In posizione A il rotore I manda la A in E.
  • In posizione B lo spostamento si somma all’ingresso e si toglie all’uscita: la A entra nel contatto B del cablaggio, il filo la porta in K, e il contatto K si trova davanti alla J. Il disco cifrante dava K perché la lettera si leggeva sul disco.
  • L’anello sposta le lettere visibili rispetto al cablaggio. Con posizione e anello entrambi su B la A esce in E, come con entrambi su A: conta solo la differenza fra i due.

Fonti